smoothed spike wave similarity
OK. Continuing on from the last post about spike wave similarity, let's look at smoothed spike wave similarity. This version is much more tolerant for the location of the spikes, allowing them to be in a Gaussian around the integer, rather than exactly an integer. It takes a little bit of work to reproduce this behaviour though.
Let's jump in, and start with defining our spike waves:
spikes |wave-1> => range(|0>,|1000>,|1>)
spikes |wave-2> => range(|0>,|1000>,|2>)
spikes |wave-3> => range(|0>,|1000>,|3>)
spikes |wave-4> => range(|0>,|1000>,|4>)
spikes |wave-5> => range(|0>,|1000>,|5>)
spikes |wave-6> => range(|0>,|1000>,|6>)
spikes |wave-7> => range(|0>,|1000>,|7>)
spikes |wave-8> => range(|0>,|1000>,|8>)
spikes |wave-9> => range(|0>,|1000>,|9>)
spikes |wave-10> => range(|0>,|1000>,|10>)
spikes |wave-11> => range(|0>,|1000>,|11>)
spikes |wave-12> => range(|0>,|1000>,|12>)
spikes |wave-13> => range(|0>,|1000>,|13>)
spikes |wave-14> => range(|0>,|1000>,|14>)
spikes |wave-15> => range(|0>,|1000>,|15>)
spikes |wave-16> => range(|0>,|1000>,|16>)
spikes |wave-17> => range(|0>,|1000>,|17>)
spikes |wave-18> => range(|0>,|1000>,|18>)
spikes |wave-19> => range(|0>,|1000>,|19>)
spikes |wave-20> => range(|0>,|1000>,|20>)
spikes |empty> => 0 spikes |wave-1>
Next, we need to make use of the smooth[dx] operator. Essentially it maps:
f(x) -> f(x - dx)/4 + f(x)/2 + f(x + dx)/4
Here are a couple of examples to try and show how it works in practice:
sa: smooth[0.25] |10>
0.25|9.75> + 0.5|10.0> + 0.25|10.25>
sa: bar-chart[50] smooth[0.25] |10>
----------
9.75 : |||||||||||||||||||||||||
10.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.25 : |||||||||||||||||||||||||
----------
|bar chart>
sa: bar-chart[50] smooth[0.25]^5 |10>
----------
8.75 :
9.0 : |
9.25 : ||||||||
9.5 : |||||||||||||||||||||||
9.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.5 : |||||||||||||||||||||||
10.75 : ||||||||
11.0 : |
11.25 :
----------
|bar chart>
Basically maps spikes to Gaussian smoothed spikes. Which is exactly what we need for this post. Now, let's generate our smoothed spike waves:
smooth-spike-op |*> #=> smooth[0.25]^5 spikes |_self>
map[smooth-spike-op,smoothed-spikes] rel-kets[spikes]
Now, define a couple of operators:
-- the float-value operator, to define our sort order:
float-value |*> #=> pop-float clean |_self>
-- the show the wave operator:
show-smoothed-spike-wave |*> #=> bar-chart[50] select[1,45] sort-by[float-value] smoothed-spikes (|empty> + |_self>)
Now, look at the waves, and note they are no longer spikes, but Gaussian smoothed spikes:
sa: show-smoothed-spike-wave |wave-1>
----------
-1.25 :
-1.0 : |
-0.75 : ||||||||
-0.5 : ||||||||||||||||||||||
-0.25 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.25 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
----------
sa: show-smoothed-spike-wave |wave-2>
----------
-1.25 :
-1.0 : |
-0.75 : ||||||||
-0.5 : |||||||||||||||||||||||
-0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.5 : |||||||||||||||||||||||
0.75 : |||||||||
1.0 : |||
1.25 : |||||||||
1.5 : |||||||||||||||||||||||
1.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 : |||||||||||||||||||||||
2.75 : |||||||||
3.0 : |||
3.25 : |||||||||
3.5 : |||||||||||||||||||||||
3.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.5 : |||||||||||||||||||||||
4.75 : |||||||||
5.0 : |||
5.25 : |||||||||
5.5 : |||||||||||||||||||||||
5.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.5 : |||||||||||||||||||||||
6.75 : |||||||||
7.0 : |||
7.25 : |||||||||
7.5 : |||||||||||||||||||||||
7.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.5 : |||||||||||||||||||||||
8.75 : |||||||||
9.0 : |||
9.25 : |||||||||
9.5 : |||||||||||||||||||||||
9.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
----------
sa: show-smoothed-spike-wave |wave-3>
----------
-1.25 :
-1.0 : |
-0.75 : ||||||||
-0.5 : |||||||||||||||||||||||
-0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.5 : |||||||||||||||||||||||
0.75 : ||||||||
1.0 : |
1.25 :
1.5 :
1.75 :
2.0 : |
2.25 : ||||||||
2.5 : |||||||||||||||||||||||
2.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5 : |||||||||||||||||||||||
3.75 : ||||||||
4.0 : |
4.25 :
4.5 :
4.75 :
5.0 : |
5.25 : ||||||||
5.5 : |||||||||||||||||||||||
5.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.5 : |||||||||||||||||||||||
6.75 : ||||||||
7.0 : |
7.25 :
7.5 :
7.75 :
8.0 : |
8.25 : ||||||||
8.5 : |||||||||||||||||||||||
8.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.5 : |||||||||||||||||||||||
9.75 : ||||||||
----------
sa: show-smoothed-spike-wave |wave-7>
----------
-1.25 :
-1.0 : |
-0.75 : ||||||||
-0.5 : |||||||||||||||||||||||
-0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.5 : |||||||||||||||||||||||
0.75 : ||||||||
1.0 : |
1.25 :
1.5 :
1.75 :
2.0 :
2.25 :
2.5 :
2.75 :
3.0 :
3.25 :
3.5 :
3.75 :
4.0 :
4.25 :
4.5 :
4.75 :
5.0 :
5.25 :
5.5 :
5.75 :
6.0 : |
6.25 : ||||||||
6.5 : |||||||||||||||||||||||
6.75 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.5 : |||||||||||||||||||||||
7.75 : ||||||||
8.0 : |
8.25 :
8.5 :
8.75 :
9.0 :
9.25 :
9.5 :
9.75 :
----------
OK. All nice and pretty. Now we want to look at their similarities. Presumably, for integers they should give very similar similarities as the single spike versions. Only for off-integer spikes should there be a big difference. Let's see what the data says:
-- define our show similarity operator:
show-smoothed-similarity |*> #=> bar-chart[50] ket-sort similar-input[smoothed-spikes] smoothed-spikes |_self>
-- now put it to use:
sa: show-smoothed-similarity |wave-1>
----------
wave-1 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-2 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-3 : ||||||||||||||||||||||||||
wave-4 : ||||||||||||||||||||
wave-5 : |||||||||||||||||
wave-6 : |||||||||||||||
wave-7 : |||||||||||||
wave-8 : |||||||||||
wave-9 : ||||||||||
wave-10 : |||||||||
wave-11 : ||||||||
wave-12 : ||||||||
wave-13 : |||||||
wave-14 : |||||||
wave-15 : ||||||
wave-16 : ||||||
wave-17 : ||||||
wave-18 : |||||
wave-19 : |||||
wave-20 : |||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-2>
----------
wave-1 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-2 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-3 : |||||||||||||||||||||||||
wave-4 : |||||||||||||||||||||||||
wave-5 : ||||||||||||||||
wave-6 : |||||||||||||||||
wave-7 : ||||||||||||
wave-8 : ||||||||||||
wave-9 : ||||||||||
wave-10 : ||||||||||
wave-11 : ||||||||
wave-12 : ||||||||
wave-13 : |||||||
wave-14 : |||||||
wave-15 : ||||||
wave-16 : ||||||
wave-17 : |||||
wave-18 : |||||
wave-19 : |||||
wave-20 : |||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-3>
----------
wave-1 : ||||||||||||||||||||||||||
wave-2 : |||||||||||||||||||||||||
wave-3 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-4 : ||||||||||||||||||
wave-5 : |||||||||||||||
wave-6 : |||||||||||||||||||||||||
wave-7 : |||||||||||
wave-8 : ||||||||||
wave-9 : ||||||||||||||||
wave-10 : ||||||||
wave-11 : ||||||||
wave-12 : ||||||||||||
wave-13 : |||||||
wave-14 : ||||||
wave-15 : ||||||||||
wave-16 : |||||
wave-17 : |||||
wave-18 : ||||||||
wave-19 : |||||
wave-20 : ||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-4>
----------
wave-1 : ||||||||||||||||||||
wave-2 : |||||||||||||||||||||||||
wave-3 : ||||||||||||||||||
wave-4 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-5 : |||||||||||||||
wave-6 : |||||||||||||||||
wave-7 : |||||||||||
wave-8 : |||||||||||||||||||||||||
wave-9 : |||||||||
wave-10 : ||||||||||
wave-11 : |||||||
wave-12 : ||||||||||||||||
wave-13 : ||||||
wave-14 : |||||||
wave-15 : |||||
wave-16 : ||||||||||||
wave-17 : |||||
wave-18 : |||||
wave-19 : |||||
wave-20 : ||||||||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-5>
----------
wave-1 : |||||||||||||||||
wave-2 : ||||||||||||||||
wave-3 : |||||||||||||||
wave-4 : |||||||||||||||
wave-5 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-6 : ||||||||||||
wave-7 : ||||||||||
wave-8 : |||||||||
wave-9 : ||||||||
wave-10 : |||||||||||||||||||||||||
wave-11 : |||||||
wave-12 : ||||||
wave-13 : ||||||
wave-14 : ||||||
wave-15 : ||||||||||||||||
wave-16 : |||||
wave-17 : |||||
wave-18 : |||||
wave-19 : ||||
wave-20 : ||||||||||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-6>
----------
wave-1 : |||||||||||||||
wave-2 : |||||||||||||||||
wave-3 : |||||||||||||||||||||||||
wave-4 : |||||||||||||||||
wave-5 : ||||||||||||
wave-6 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-7 : ||||||||||
wave-8 : ||||||||||||
wave-9 : ||||||||||||||||
wave-10 : ||||||||||
wave-11 : |||||||
wave-12 : |||||||||||||||||||||||||
wave-13 : ||||||
wave-14 : |||||||
wave-15 : ||||||||||
wave-16 : ||||||
wave-17 : ||||
wave-18 : ||||||||||||||||
wave-19 : ||||
wave-20 : |||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-7>
----------
wave-1 : |||||||||||||
wave-2 : ||||||||||||
wave-3 : |||||||||||
wave-4 : |||||||||||
wave-5 : ||||||||||
wave-6 : ||||||||||
wave-7 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-8 : |||||||||
wave-9 : ||||||||
wave-10 : |||||||
wave-11 : |||||||
wave-12 : ||||||
wave-13 : ||||||
wave-14 : |||||||||||||||||||||||||
wave-15 : |||||
wave-16 : |||||
wave-17 : |||||
wave-18 : ||||
wave-19 : ||||
wave-20 : ||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-8>
----------
wave-1 : |||||||||||
wave-2 : ||||||||||||
wave-3 : ||||||||||
wave-4 : |||||||||||||||||||||||||
wave-5 : |||||||||
wave-6 : ||||||||||||
wave-7 : |||||||||
wave-8 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-9 : ||||||||
wave-10 : ||||||||||
wave-11 : |||||||
wave-12 : ||||||||||||||||
wave-13 : ||||||
wave-14 : |||||||
wave-15 : |||||
wave-16 : |||||||||||||||||||||||||
wave-17 : ||||
wave-18 : |||||
wave-19 : ||||
wave-20 : ||||||||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-9>
----------
wave-1 : ||||||||||
wave-2 : ||||||||||
wave-3 : ||||||||||||||||
wave-4 : |||||||||
wave-5 : ||||||||
wave-6 : ||||||||||||||||
wave-7 : ||||||||
wave-8 : ||||||||
wave-9 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-10 : |||||||
wave-11 : |||||||
wave-12 : ||||||||||||
wave-13 : ||||||
wave-14 : |||||
wave-15 : ||||||||||
wave-16 : ||||
wave-17 : ||||
wave-18 : |||||||||||||||||||||||||
wave-19 : ||||
wave-20 : ||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-10>
----------
wave-1 : |||||||||
wave-2 : ||||||||||
wave-3 : ||||||||
wave-4 : ||||||||||
wave-5 : |||||||||||||||||||||||||
wave-6 : ||||||||||
wave-7 : |||||||
wave-8 : ||||||||||
wave-9 : |||||||
wave-10 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-11 : |||||||
wave-12 : ||||||||
wave-13 : |||||
wave-14 : |||||||
wave-15 : ||||||||||||||||
wave-16 : ||||||
wave-17 : ||||
wave-18 : ||||||
wave-19 : ||||
wave-20 : |||||||||||||||||||||||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-11>
----------
wave-1 : ||||||||
wave-2 : ||||||||
wave-3 : ||||||||
wave-4 : |||||||
wave-5 : |||||||
wave-6 : |||||||
wave-7 : |||||||
wave-8 : |||||||
wave-9 : |||||||
wave-10 : |||||||
wave-11 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-12 : ||||||
wave-13 : |||||
wave-14 : |||||
wave-15 : |||||
wave-16 : ||||
wave-17 : ||||
wave-18 : ||||
wave-19 : ||||
wave-20 : ||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-12>
----------
wave-1 : ||||||||
wave-2 : ||||||||
wave-3 : ||||||||||||
wave-4 : ||||||||||||||||
wave-5 : ||||||
wave-6 : |||||||||||||||||||||||||
wave-7 : ||||||
wave-8 : ||||||||||||||||
wave-9 : ||||||||||||
wave-10 : ||||||||
wave-11 : ||||||
wave-12 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-13 : ||||||
wave-14 : |||||||
wave-15 : ||||||||||
wave-16 : ||||||||||||
wave-17 : ||||
wave-18 : ||||||||||||||||
wave-19 : ||||
wave-20 : ||||||||||
----------
Which is roughly the same as the spike version, though wave-2 looks distinctly different, and wave-k for prime k have slightly higher similarity than in the spike version. But the thing we really want to test are non-integer wave's. Here is |wave-9.75>:
sa: show-smoothed-spike-wave |wave-9.75>
----------
-1.25 :
-1.0 : |
-0.75 : ||||||||
-0.5 : |||||||||||||||||||||||
-0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.0 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.25 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.5 : |||||||||||||||||||||||
0.75 : ||||||||
1.0 : |
1.25 :
1.5 :
1.75 :
2.0 :
2.25 :
2.5 :
2.75 :
3.0 :
3.25 :
3.5 :
3.75 :
4.0 :
4.25 :
4.5 :
4.75 :
5.0 :
5.25 :
5.5 :
5.75 :
6.0 :
6.25 :
6.5 :
6.75 :
7.0 :
7.25 :
7.5 :
7.75 :
8.0 :
8.25 :
8.5 :
8.75 : |
9.0 : ||||||||
9.25 : |||||||||||||||||||||||
9.5 : |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.75 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
----------
sa: show-smoothed-similarity |wave-9.75>
----------
wave-1 : ||||||||||
wave-2 : |||||||||
wave-3 : ||||||||
wave-4 : ||||||||
wave-5 : ||||||||
wave-6 : |||||||
wave-7 : |||||||
wave-8 : |||||||
wave-9 : |||||||
wave-9.75 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
wave-10 : ||||||
wave-11 : ||||||
wave-12 : ||||||
wave-13 : ||||||||||||
wave-14 : |||||
wave-15 : |||||
wave-16 : ||||
wave-17 : ||||
wave-18 : ||||
wave-19 : ||||
wave-20 : ||||
----------
vs the spike similarity:
sa: show-similarity |wave-9.75>
----------
wave-9.75 : ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
----------
Which is pretty much my point. The smoothed spike transform is more tolerant of the spikes not being at exact integer spacing's. And for that reason, in practice should be more useful, because brains are not expected to be ultra precise.
BTW, we have two parameters we can tweak. Recall the smooth spike operator:
smooth-spike-op |*> #=> smooth[0.25]^5 spikes |_self>
In particular, note the smooth[dx]^k term. We can tweak both dx and k, with the result that we can tweak the shape/width of our Gaussian spikes. For example keeping track of music would require narrower spikes than in other contexts.
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updated: 19/12/2016
by Garry Morrison
email: garry -at- semantic-db.org